ĐỊNH LÍ CUỐI CÙNG CỦA FERMAT – BÀI TOÁN XUYÊN THẾ KỈ

Những ai có lòng yêu thích về toán học chắc đều biết đến định lý Fermat, một định lý được ghi bên lề cuốn sách (cuốn số học của nhà toán học Hy Lạp Diophantus gồm khoảng 100 bài toán có lời giải chi tiết) ông đang đọc là với lời chú giải: tôi đã tìm ra cách chứng minh thật tuyệt diệu cho nhận xét này nhưng vì lề sách không đủ rộng nên không thể ghi ra được. Thế mà, hơn 300 năm sau, nhiều nhà toán học lỗi lạc đã tìm cách chứng minh "nhận xét" này nhưng đều thất bại. Mãi đến năm 1993, nhà toán học người Anh Andrew Wiles, sau 7 năm tập trung giải bài toán, mới đưa ra được cách chứng minh bằng cách vận dụng các kết quả của toán học hiện đại. Thế nhưng, cách chứng minh này đã bị phát hiện có chỗ hở không chấp nhận được, nên Andrew Wiles phải bỏ thêm một năm nữa mới hoàn thiện được. Tính tới thời điểm giải được bài toán là 358 năm!
Điểm thú vị trong quá trình tìm cách chứng minh định lý này là các nhà toán học đã làm nẩy sinh nhiều lý thuyết toán học mới có giá trị, nên người ta đã coi bài toán Fermat là "con gà đẻ trứng vàng".

    Pierre de Fermat (1601-1665)

Luật sư Pierre de Fermat (1601-1665), sinh ra trong một gia đình thương nhân giàu có của thành phố Toulouse, miền Tây Nam nước Pháp. Năm 30 tuổi được bầu vào ủy viên công tố của thành phố. Mười bảy năm cuối đời ông giữ một vị trí quan trọng: ủy viên hồi đồng tư vấn của nghị viện thành phố. Fermat quá bận rộn với những công việc vừa phức tạp vừa quan trọng. Nhà toán học Degby trong một bức thư có kể về Fermat:" Ông ta bận bịu suốt ngày với các vụ trọng án. Gần đây ông ta đã tuyên một bản án gây nhiều chấn động: đó là bản án kết tội một mục sư lạm dụng quyền lực phải thiêu trên dàn lửa"
  Là một nhà toán học nghiệp dư, Fermat rất say mê các công trình toán học của  các nhà toán học Hy Lạp cổ. Ông đã để lại dấu ấn quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học: Giải tích, Xác suất, Lý thuyết số,...Ông được gọi là "hoàng tử của những người nghiệp dư".
1. Nội dung định lý
Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng (sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán khó bất hủ.
Phương trình Pythagore cho ta:   x² + y² = z²
Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy rằng: 

3² + 4² = 5² và 5² + 12² = 13²
Và nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét dạng bậc ba của phương trình này: x³ + y³ = z³
Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả xⁿ + yⁿ = zⁿ trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan. Đó là Định lý Fermat cuối cùng.
2. Quá trình tìm lời giải:
Sáng sớm tinh mơ ngày 23/6/1993, Giáo sư john Conway tới toà nhà đã xỉn màu của Khoa Toán Trường Đại Học Tổng Hợp Princeton. Ông mở cửa lớn rồi bước vội vào phòng làm việc của mình. Suốt mất tuần nay, trước cuộc viếng thăm nước Anh của Andrew Wiles - người bạn đồng nghiệp của ông, liên tiếp những tin tức bán tín bán nghi đang lan truyền trong cộng đồng toán học thế giới. Conway cảm thấy có một điều gì đó quan trọng sẽ xảy ra nhưng ông không đoán được đó là điều gì. Ông bật máy vi tính, ngồi xuống và nhìn chằm chằm vào màn hình. 5 giờ 35 phút sáng, một bức thư điện tử ngắn gọn từ bờ bên kia Đại Tây Dương chợt hiện lên: “ Wiles chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat ”.

        Ước mơ của cậu bé Wiles

Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người phải tự tử và có cả sự lường gạt... Và cuối cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh 1953) sau 7 năm làm việc trong cô độc và 1 năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.

Tháng 5/1993, "crucial breakthrough", Wiles khoe với phu nhân là đã giải được rồi.
Tháng 6/1993, "Elliptic Curves and Modular Forms", Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được Định lý lớn Fermat.

Tháng 7-8 năm 1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của ông có 1 sai lầm căn bản.
Tháng 9/1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa. Sinh nhật phu nhân ngày 6 tháng 10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng. Wiles cố hết sức nhưng không làm được.

Tháng 11/1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đó của chứng minh. Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton cùng nghiên cứu với ông.
Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu.
Tháng 9/1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh của ông được dựa trên đó
Ngày 19/9/1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước. Sau khi coi lại cẩn thận, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được.
Tháng 5/ 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Princeton University).
Tháng 8/1995 hội thảo ở Boston University, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.
     Hội nghị đã đóng lại bài toán khó nhất, từng làm các Nhà Toán học điên đảo tuy vậy “FLT” vẫn còn là bài toán khó nhất, chưa có nhà Toán học nào tìm ra cách chứng minh, ngắn gọn từ 1 đến 2 trang, Nhiều nhà Toán học còn thách thức rằng, hiện nay có ai còn nghĩ đến việc, chứng minh định lý sau cùng của Fermat ngắn gọn trong một trang thì người đó không được bình thường, nói theo kiểu Việt nam là bị chập hay bị ấm đầu…
   Vậy Fermat chứng minh như thế nào? Chỉ một mình ông biết.

3. Các nhà Toán học nhận xét thế nào về chứng minh của Andrew Wiles?
     Helen G. Grundman, giáo sư toán tại Byrn Mawr College, Glenn H. Stevens ở khoa toán tại Boston University cho biết:  “Vâng, các nhà toán học bằng lòng rằng FLT đã được chứng minh, Cách chứng minh của Andrew Wiles theo ‘semistable modularity conjecture’ – phần mấu chốt của cách chứng minh của ông – đã được kiểm tra cẩn thận và thậm chí đơn giản hóa. Trước khi có chứng minh của Wiles, người ta đã biết FLT sẽ là một hệ quả của modularity conjecture, kết hợp nó với một định lý lớn khác theo Ken Ribet và dùng các ý tưởng mấu chốt từ Gerhard Frey và Jean-Pierre Serre …”
Nhà toán học Ken Ribet: chỉ có khoảng một phần nghìn nhà toán học có thể hiểu chứng minh.
Khi cuốn sách của  Andrew Wiles được xuất bản, tác giả viết quyển sách dành cho một đối tượng rộng rãi : cho bất kỳ ai yêu thích toán học. Đây là cuốn "tiểu thuyết lịch sử" mà bạn có thể đọc nhiều lần. Mỗi khi trình độ toán học của bạn nâng cao hơn một bước, bạn lại hiểu sâu hơn một điều nào đó trong sách.
Hiện nay các nhà Toán học trên Thế giới điều công nhận chứng minh của Andrew Wiles đúng và quá hay, có lúc họ đã lấy tên Giáo sư Wiles để đặt cho định lý sau cùng của Fermat là Fermat-Wiles Theorem. Nhờ chứng minh nổi tiếng nầy, ông đã nhận được nhiều phần thưởng bằng hiện kim và medal rất giá trị của Quốc tế: “Wiles has received are the Wolf Prize and the MacArthur Fellowship”, silver plaque, the gold Fields Medal…
Tháng 1/1998 ông đã nhận được phần thưởng 200,000 USD của Vua Faisal Bin Abdelaziz  Saudi Arabia.

_______________________________________________________________________
                                                                                          bg-thcslongxuyen.haiduong.edu.vn 

                                                                                                      hnam- Tổ KHTN